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Publicação
Integro-differential equations for option pricing in exponential Lévy models
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Orientador(es)
Resumo(s)
This dissertation discusses under which conditions we can express the function that represents the option price as the solution of a certain partial integro-differential equation (PIDE) in a exponential Lévy model. The main difference between this case and the Black Scholes case is that there is a non-local term in the equation, which makes the analysis more complicated. Also, we discuss under which conditions we can obtain a Feynman-Kac formula for the case of a pure jump process and discuss the conditions under which option prices are classical solutions of the PIDEs. When such conditions are not verified, we consider the concept of viscosity solutions which only requires that the function representing the option price is continuous. Continuity results for option prices of barrier options are presented for some types of Lévy processes. In addition, we show the same continuity results for processes of finite variation and with no diffusion component. Also, we present some examples in which the function that represents the option price is discontinuous. Moreover, we present a numerical scheme that gives the price of an European put option for the Variance Gamma process. This finite difference scheme was initially proposed by Cont and Voltchkova, to solve numerically the associated PIDE.
Este trabalho discute sob que condições se pode expressar a função que representa o preço de uma opção como solução de uma determinada equação integro-diferencial parcial num modelo exponencial de Lévy. A grande diferença entre o caso aqui considerado e o de Black-Scholes é que existe na equação um termo não local, o que faz com que a análise seja mais complexa. Também é discutido sob que condições se pode obter a fórmula de Feynman Kac para o caso de um processo de saltos puros e sob que condições o preço de uma opção é solução clássica de uma equação integro-diferencial. Quando tais condições não são verificadas, considera-se o conceito de solução de viscosidade, que apenas exige que a função que representa o preço da opção seja contínua. Para alguns tipos de processos de Lévy são apresentados resultados de continuidade para os preços de opções barreira. Para além disso demonstram-se os mesmos resultados para processos de variação finita e sem componente de difusão. Também são apresentados alguns exemplos em que a função que representa o preço da opção é descontínua. É apresentado um esquema numérico que permite obter o preço de uma opção de venda Europeia para o caso do processo "Variance Gamma". Este esquema de diferenças finitas foi proposto inicialmente por Cont e Voltchkova para resolver numericamente a equação integro-diferencial parcial associada.
Este trabalho discute sob que condições se pode expressar a função que representa o preço de uma opção como solução de uma determinada equação integro-diferencial parcial num modelo exponencial de Lévy. A grande diferença entre o caso aqui considerado e o de Black-Scholes é que existe na equação um termo não local, o que faz com que a análise seja mais complexa. Também é discutido sob que condições se pode obter a fórmula de Feynman Kac para o caso de um processo de saltos puros e sob que condições o preço de uma opção é solução clássica de uma equação integro-diferencial. Quando tais condições não são verificadas, considera-se o conceito de solução de viscosidade, que apenas exige que a função que representa o preço da opção seja contínua. Para alguns tipos de processos de Lévy são apresentados resultados de continuidade para os preços de opções barreira. Para além disso demonstram-se os mesmos resultados para processos de variação finita e sem componente de difusão. Também são apresentados alguns exemplos em que a função que representa o preço da opção é descontínua. É apresentado um esquema numérico que permite obter o preço de uma opção de venda Europeia para o caso do processo "Variance Gamma". Este esquema de diferenças finitas foi proposto inicialmente por Cont e Voltchkova para resolver numericamente a equação integro-diferencial parcial associada.
Descrição
Mestrado em Matemática Financeira
Palavras-chave
Processos de Lévy Fórmula de Feynman-Kac Equação integro-diferencial parcial Valorização de opções Lévy Processes Feynman-Kac formula PIDEs Option Pricing
Contexto Educativo
Citação
Cruz, José Manuel Teixeira Santos. 2013. "Integro-differential equations for option pricing in exponential Lévy models". Dissertação de Mestrado. Universidade de Lisboa. Instituto Superior de Economia e Gestão.
Editora
Instituto Superior de Economia e Gestão