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Avaliação de opções asiáticas
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O presente trabalho é dedicado à avaliação de opções asiáticas. Uma opção asiática com média aritmética é complexa de avaliar, dado que não é possível definir analiticamente a função distribuição de probabilidade de uma soma de variáveis aleatórias lognormais. Deste modo irão ser calculadas aproximações do preço de uma opção asiática com média aritmética.
No caso de uma opção asiática com média geométrica é possível chegar a uma fórmula fechada, pois sabemos a distribuição do produtório de variáveis aleatórias lognormais. Assim, este será o ponto de partida para o cálculo das aproximações. Esta tese propõe três aproximações, um limite inferior e um limite superior para o preço de uma opção asiática com média aritmética. A primeira aproximação é a fórmula fechada de avaliação de uma opção asiática com média geométrica em tempo contínuo. Para uma maior aderência à realidade, a segunda aproximação é a fórmula fechada de avaliação de uma opção asiática com média geométrica em tempo discreto. Por fim, irá aproximar-se a distribuição da média aritmética em tempo contínuo a uma lognormal, com base nos dois primeiros momentos da média aritmética, e será calculada uma fórmula fechada tendo em conta a distribuição calculada. O limite inferior é calculado através de uma inequação resultante da desigualdade de Jensen, utilizando a conditioning approach. O limite superior é obtido somando ao limite inferior um erro, o qual advém da utilização da conditioning approach. As aproximações foram implementadas de forma fácil e simples, e conclui-se que a aproximação que é calculada com base na média aritmética e o limite inferior são as aproximações mais precisas.
This work is devoted to the valuation of Asian options. An arithmetic average Asian option is not easy to evaluate, since it is not possible to determine the probability distribution of a sum of lognormal random variables. That way, analytic approximations are needed for the arithmetic average asian option price. For a geometric average Asian option, analytical formulas are available because the probability distribution of the product of lognormal random variables. Therefore this will be the starting point for this dissertation. This thesis proposes three types of analytic approximations as well as a lower bound and an upper bound for the arithmetic average Asian option price. The first approximation is the closed-form for pricing a geometric average Asian option in continuous time. To get closer to reality, the second approach is the closed-form for pricing a geometric average Asian option in discrete time. Finally, the arithmetic average distribution in continuous time will approach a lognormal, based on the first two moments of the arithmetic average. The lower bound is calculated through an inequality obtained from Jesen's inequality, applying the conditioning approach. The upper bound is acquired by adding an error term to the lower bound, which error arises from the conditioning approach. The approximations were implemented in a easy and simple way and it is concluded the approximation based on the arithmetic average and the lower bound are the most accurate approximations.
This work is devoted to the valuation of Asian options. An arithmetic average Asian option is not easy to evaluate, since it is not possible to determine the probability distribution of a sum of lognormal random variables. That way, analytic approximations are needed for the arithmetic average asian option price. For a geometric average Asian option, analytical formulas are available because the probability distribution of the product of lognormal random variables. Therefore this will be the starting point for this dissertation. This thesis proposes three types of analytic approximations as well as a lower bound and an upper bound for the arithmetic average Asian option price. The first approximation is the closed-form for pricing a geometric average Asian option in continuous time. To get closer to reality, the second approach is the closed-form for pricing a geometric average Asian option in discrete time. Finally, the arithmetic average distribution in continuous time will approach a lognormal, based on the first two moments of the arithmetic average. The lower bound is calculated through an inequality obtained from Jesen's inequality, applying the conditioning approach. The upper bound is acquired by adding an error term to the lower bound, which error arises from the conditioning approach. The approximations were implemented in a easy and simple way and it is concluded the approximation based on the arithmetic average and the lower bound are the most accurate approximations.
Description
Tese de mestrado em Matemática Financeira, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2015
Keywords
Opções asiáticas Média geométrica Média aritmética Aproximações Conditioning approach Teses de mestrado - 2015