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Publicação
Modelling claim counts of homogeneous risk groups using copulas
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Orientador(es)
Resumo(s)
Over the years modelling the dependence between random variables has been a challenge in many areas, like insurance and finance. Recently with the new capital requirement regime for the European insurance business, this subject is increasing importance since, according to Solvency II, the insurer's risks should be modelled separately, then aggregated follow¬ing some dependence structure. The challenge of this framework is to achieve an accurate way of joining dependent risks in order to not over or underestimate the capital require¬ments. The aim of this thesis is to give a practical application of a multivariate model based on copulas as well as all the theoretical and important concepts related to the theory of copulas. Although the definition of copula dates from 1959, only recently some authors such Clemen and Reilly (1999), Daul et al (2003), Dias (2004), Frees and Valdez (1998) and Embrechts et al (2003) applied the copula framework for the finance and insurance data. In the mean time, estimation procedures and goodness-of-fit tests has been developing in the literature. In this thesis we introduce the theory of copulas together with the study of copula models for insurance data. Beforehand, copula definition andpropertiesaswellassome types of copulas discussed in literature are introduced. We present methods to estimate the parameters and a goodness-of-fit test for copulas. Afterwards, we present a summary of Solvency II and a multivariate model to fit claim counts between three homogeneous risk groups that are the core of the automobile business: Third party liability property damages, third party liability bodily injury and material own damages. The methodology followed is based on copula models and the procedures are carried out in two steps. First, we model the marginal distributions of each risk group and test the goodness-of-fit of each distribution. We propose two models to fit the marginal distributions: a discrete and an approximating continuous model. In the first model we test a Poisson and a Negative Binomial distribution whereas in the second one we test a Gamma and a Normal distribution approximations. In spite of being the natural approach to fit the claim counts, the discrete model has some limitations since copulas have serious restrictions when the marginals are discrete. Thus, a continuous model is proposed to fit the data as an alternative avoiding these limitations. Finally, we fitdifferent copulas families estimating its parameters through some procedures, presented along this thesis. We evaluate the goodness-of-fit using a statistical test based on the empirical copula concept.
Ao longo dos últimos anos, avaliar a dependência entre variáveis aleatórias tem sido um desafio constante em muitas áreas, como por exemplo nos seguros e finanças. Recente¬mente, com o novo regime de solvência para as companhias de seguros europeias, este tema tem ganho um grande relevo, uma vez que, de acordo com o programa Solvência II, os riscos de uma companhia de seguros devem ser avaliados separadamente, sendo posteri¬ormente agregados de forma dependente. O grande desafio deste modelo é conseguir en¬contrar a forma mais correcta de agregar os diversos riscos considerando dependência, por forma a não subestimar nem sobrestimar o valor dos requisitos de capital. Posto isto, o objectivo desta tese é, por um lado, apresentar uma aplicação prática de um modelo mul-tivariado onde se utilizam diversas cópulas para avaliar a estrutura de dependência entre os riscos e, por outro lado, fornecer todos os conceitos teóricos mais importantes relacionados com a teoria das cópulas. Apesar da definição de cópula datar de 1959, apenas recente¬mente alguns autores, tais como Clemen and Reilly (1999), Daul et al (2003), Dias (2004), Frees and Valdez (1998) e Embrechts et al (2003), aplicaram este conceito à área da banca e seguros. Entretanto, têm sido desenvolvidos na literatura métodos para a estimação dos parâmetros e testes de ajustamento para modelos multivariados que utilizam cópulas. Nesta tese, a teoria das cópulas é introduzida juntamente com um estudo prático aplicado a dados de uma seguradora real. Em primeiro lugar, é apresentada a definição e as propriedades gerais das cópulas sendo também detalhadas algumas cópulas conheci¬das e estudadas na literatura. Além disto, são apresentados métodos para a estimação dos parâmetros e testes para avaliar a qualidade do ajustamento das cópulas aos dados. Segui¬damente, é feito um breve resumo sobre Solvência II e apresentado um modelo multivariado para ajustar o número de sinistros de três grupos de risco homogéneos que constituem o núcleo do ramo automóvel: Responsabilidade civil de danos materiais, responsabilidade civil de danos corporais e danos próprios. Os procedimentos são realizados em dois passos. Em primeiro lugar ajustam-se várias distribuições marginais para cada grupo de risco testando a qualidade de ajustamento de cada uma. Para o ajustamento das marginais são propostos dois modelos: um modelo discreto e um modelo de aproximação contínuo. No primeiro as distribuições testadas são a Binomial Negativa e a Poisson, enquanto que no segundo são testadas as distribuições Gama e Normal. O modelo discreto tem algumas limitações, uma vez que as cópulas têm sérias restrições quando as marginais são discretas. Daqui advém a necessidade de propor um modelo contínuo aproximado. Finalmente, ajustam-se diver¬sas cópulas utilizando métodos de estimação apresentados ao longo da tese. A qualidade do ajustamento é testada através de uma estatística tese baseada no conceito de cópula empírica.
Ao longo dos últimos anos, avaliar a dependência entre variáveis aleatórias tem sido um desafio constante em muitas áreas, como por exemplo nos seguros e finanças. Recente¬mente, com o novo regime de solvência para as companhias de seguros europeias, este tema tem ganho um grande relevo, uma vez que, de acordo com o programa Solvência II, os riscos de uma companhia de seguros devem ser avaliados separadamente, sendo posteri¬ormente agregados de forma dependente. O grande desafio deste modelo é conseguir en¬contrar a forma mais correcta de agregar os diversos riscos considerando dependência, por forma a não subestimar nem sobrestimar o valor dos requisitos de capital. Posto isto, o objectivo desta tese é, por um lado, apresentar uma aplicação prática de um modelo mul-tivariado onde se utilizam diversas cópulas para avaliar a estrutura de dependência entre os riscos e, por outro lado, fornecer todos os conceitos teóricos mais importantes relacionados com a teoria das cópulas. Apesar da definição de cópula datar de 1959, apenas recente¬mente alguns autores, tais como Clemen and Reilly (1999), Daul et al (2003), Dias (2004), Frees and Valdez (1998) e Embrechts et al (2003), aplicaram este conceito à área da banca e seguros. Entretanto, têm sido desenvolvidos na literatura métodos para a estimação dos parâmetros e testes de ajustamento para modelos multivariados que utilizam cópulas. Nesta tese, a teoria das cópulas é introduzida juntamente com um estudo prático aplicado a dados de uma seguradora real. Em primeiro lugar, é apresentada a definição e as propriedades gerais das cópulas sendo também detalhadas algumas cópulas conheci¬das e estudadas na literatura. Além disto, são apresentados métodos para a estimação dos parâmetros e testes para avaliar a qualidade do ajustamento das cópulas aos dados. Segui¬damente, é feito um breve resumo sobre Solvência II e apresentado um modelo multivariado para ajustar o número de sinistros de três grupos de risco homogéneos que constituem o núcleo do ramo automóvel: Responsabilidade civil de danos materiais, responsabilidade civil de danos corporais e danos próprios. Os procedimentos são realizados em dois passos. Em primeiro lugar ajustam-se várias distribuições marginais para cada grupo de risco testando a qualidade de ajustamento de cada uma. Para o ajustamento das marginais são propostos dois modelos: um modelo discreto e um modelo de aproximação contínuo. No primeiro as distribuições testadas são a Binomial Negativa e a Poisson, enquanto que no segundo são testadas as distribuições Gama e Normal. O modelo discreto tem algumas limitações, uma vez que as cópulas têm sérias restrições quando as marginais são discretas. Daqui advém a necessidade de propor um modelo contínuo aproximado. Finalmente, ajustam-se diver¬sas cópulas utilizando métodos de estimação apresentados ao longo da tese. A qualidade do ajustamento é testada através de uma estatística tese baseada no conceito de cópula empírica.
Descrição
Mestrado em Ciências Actuariais
Palavras-chave
Copula multivariate distribution function dependence structure kendall's tau spearman's rho tail dependence Solvency II empirical copula Cópula função de distribuição multivariada estrutura de dependência tau de kendall ro de spearman dependência na cauda Solvência II cópula empírica
Contexto Educativo
Citação
Santos, Mariana Faria dos. 2010. "Modelling claim counts of homogeneous risk groups using copulas". Dissertação de Mestrado. Universidade Técnica de Lisboa. Instituto Superior de Economia e Gestão
Editora
Instituto Superior de Economia e Gestão