Applications of random dynamical systems and control in mathematical finance

Abstract

This PhD thesis uses Dynamical Systems, Variational Calculus and Op- timal Control techniques to address three related problems in Mathematical Finance. We start by introducing an alternative characterization for martingale measures in discrete time financial markets models, relating the existence of such measures with a special family of optimization problems. We then move on to address two classical problems in mathematical finance, both connected through the incompleteness of the markets under consideration. We first consider a minimization problem as a model for the interaction between two agents trading a contingent claim in incomplete financial markets (in both discrete-time and continuous-time setups). The agents personal valuations for the contingent claim are assumed to depend on probability measures representing their beliefs concerning the future states of the world, and their goal is to achieve a common price for the contingent claim to be traded, while deviating as little as possible from their initial beliefs. We then prove a dynamic programming principle for a finite horizon optimal control problem for which the state variable dynamics are defined by a Markov- switching jump-diffusion stochastic differential equation. As an application of our results, we study a finite horizon consumption-investment problem in a Markov-switching jump-diffusion financial market.

Nesta Tese de Doutoramento usamos conceitos de Sistemas Dinâmicos, Cálculo Variacional e técnicas de Controlo para lidar com três problemas em Matemática Financeira. Começamos por uma caracterização alternativa das medidas martingale em modelos de mercados financeiros em tempo discreto, relacionando a existência de tal medida com uma família de problemas de optimização. Posteriormente, estudamos dois problemas clássicos em matemática financeira, relacionados pela incompletude dos mercados considerados. O primeiro é um problema de minimização que modela a interação entre dois agentes, que transacionam um derivado financeiro em mercados financeiros incompletos (quer em tempo discreto, quer em tempo contínuo). Assumimos que a avaliação que cada agente faz do derivado financeiro depende de medidas de probabilidade que representam as suas estimativas sobre a probabilidade de ocorrência de cada um dos futuros estados do mundo, e que o seu objetivo consiste em conseguir um preço comum para o derivado financeiro negociado, desviando-se o mínimo possível das suas estimativas iniciais. Finalmente, provamos um princípio de programação dinâmica para um problema de controlo óptimo em horizonte finito, no qual a dinâmica das variáveis de estado é definida por uma equação diferencial estocástica contendo termos de difusão, termos de saltos, sendo, adicionalmente, cada um destes termos modulado por uma cadeia de Markov. Como aplicação estudamos um problema de consumo-investimento em horizonte finito num mercado financeiro formado por activos cuja evolução com o tempo segue uma equação diferencial estocástica do tipo acima descrito.