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Publicação
Pricing American Options by the Black-Scholes Equation with a Nonlinear Volatility Function
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Resumo(s)
In this thesis we are concerned with the study of American-style options in presence of variable transactions costs. This leads to consider some generalized Black-Scholes equations with a nonlinear volatility function depending on the product of the underlying asset price and the second derivative of the option price. Mathematically, this involves the study of a free boundary problem for a nonlinear parabolic equation. The fully nonlinear character of the corresponding differential operator induces increased difficulties. By overcoming adequately those difficulties, we obtain qualitative and quantitative results regarding both types of American-style options, that is put and call options, as described next. Firstly, we investigate the qualitative and quantitative behaviour of a solution to the problem of pricing American style perpetual put options. We assume the option price is a solution to a stationary generalized Black-Scholes equation with a nonlinear volatility function. We prove existence and uniqueness of a solution to the free boundary problem. We derive a single implicit integral equation for the free boundary position and a closed form formula for the option price. It is a generalization of the well-known explicit closed form solution derived by Merton for the case of constant volatility. We also present results of numerical computations for the free boundary position, option price and their dependence on model parameters. Secondly, we analyze a nonlinear generalization of the Black{Scholes equation for pricing American-style call options, with nonlinear volatility. This model generalizes the well-known Leland model with constant transaction costs. Due to the fully nonlinear nature of the differential operator that appears in the model, the direct computation of the nonlinear complementarity problem becomes harder and unstable. Therefore, we propose a new approach to reformulate the nonlinear complementarity problem in terms of the new transformed variable for which the differential operator has the form of a quasilinear parabolic operator. We derive the nonlinear complementarity problem for the transformed variable in order to apply the Gamma transformation for American style options. We then solve the variacional problem by means of the modi ed projected successive over relaxation (PSOR) for constructing an effective numerical scheme for discretization of the Gamma variacional inequality. Finally, we present several computational examples of the nonlinear Black- Scholes equation for pricing American-style call options in the presence of variable transaction costs.
Esta dissertação incide sobre o estudo de opções americanas admitindo a existência de custos de transação variáveis. Tal estudo leva-nos a considerar equações de Black-Scholes generalizadas, com uma função de volatilidade não linear que depende do produto do preço do ativo subjacente e da segunda derivada do preço da opção, o que, do ponto de vista matemático, implica a análise de um problema de fronteira livre para uma equação parabólica não linear. O carácter não linear do operador diferencial correspondente gera dificuldades acrescidas. Contudo, um estudo adequado a condição de não linearidade permite-nos estabelecer resultados qualitativos e quantitativos sobre os dois tipos de opções americanas, mas precisamente, opções de venda e de compra, conforme descrito a seguir. Em primeiro lugar, investigamos o comportamento qualitativo e quantitativo de uma solução do problema de apreçamento de opções de venda perpétuas do tipo americano. Assumimos que o preço da opção é uma solução para uma equação de Black- Scholes generalizada estacionária com uma função de volatilidade não linear. Provamos existência e unicidade de uma solução do problema da fronteira livre. Derivamos uma equação integral implícita para o valor de fronteira livre e uma solução de forma fechada para o preço da opção. É uma generalização da conhecida solução de forma fechada explícita derivada por Merton para o caso de volatilidade constante. Também apresentamos resultados de cálculo numérico para o valor de fronteira livre, assim como para preço da opção e sua dependência dos parâmetros do modelo. Em segundo lugar, analisamos uma generalização não linear da equação de Black-Scholes para o apreçamento de opções de compra de tipo americano, com volatilidade não linear. Este modelo generaliza o conhecido modelo de Leland com custos de transação constantes. Devido à natureza totalmente não linear do operador diferencial que aparece no modelo, o cálculo direto do problema de complementaridade não linear torna-se mais difícil e instável. Portanto, propomos uma nova abordagem para reformular o problema de complementaridade não linear em termos de uma nova variável para a qual o operador diferencial tem a forma de um operador parabólico quase-linear. Derivamos o problema de complementaridade não linear para a variável transformada afim de aplicar a transformação Gama para opções de tipo americano. Em seguida, resolvemos o problema variacional por meio do relaxamento projetado sucessivo modificado (PSOR) para construir um esquema numérico eficaz para discretização da desigualdade variacional Gama. Finalmente, apresentamos vários exemplos computacionais da equação não linear de Black-Scholes para apreçamento de opções de compra no tipo americano em presença de custos de transação variáveis.
Esta dissertação incide sobre o estudo de opções americanas admitindo a existência de custos de transação variáveis. Tal estudo leva-nos a considerar equações de Black-Scholes generalizadas, com uma função de volatilidade não linear que depende do produto do preço do ativo subjacente e da segunda derivada do preço da opção, o que, do ponto de vista matemático, implica a análise de um problema de fronteira livre para uma equação parabólica não linear. O carácter não linear do operador diferencial correspondente gera dificuldades acrescidas. Contudo, um estudo adequado a condição de não linearidade permite-nos estabelecer resultados qualitativos e quantitativos sobre os dois tipos de opções americanas, mas precisamente, opções de venda e de compra, conforme descrito a seguir. Em primeiro lugar, investigamos o comportamento qualitativo e quantitativo de uma solução do problema de apreçamento de opções de venda perpétuas do tipo americano. Assumimos que o preço da opção é uma solução para uma equação de Black- Scholes generalizada estacionária com uma função de volatilidade não linear. Provamos existência e unicidade de uma solução do problema da fronteira livre. Derivamos uma equação integral implícita para o valor de fronteira livre e uma solução de forma fechada para o preço da opção. É uma generalização da conhecida solução de forma fechada explícita derivada por Merton para o caso de volatilidade constante. Também apresentamos resultados de cálculo numérico para o valor de fronteira livre, assim como para preço da opção e sua dependência dos parâmetros do modelo. Em segundo lugar, analisamos uma generalização não linear da equação de Black-Scholes para o apreçamento de opções de compra de tipo americano, com volatilidade não linear. Este modelo generaliza o conhecido modelo de Leland com custos de transação constantes. Devido à natureza totalmente não linear do operador diferencial que aparece no modelo, o cálculo direto do problema de complementaridade não linear torna-se mais difícil e instável. Portanto, propomos uma nova abordagem para reformular o problema de complementaridade não linear em termos de uma nova variável para a qual o operador diferencial tem a forma de um operador parabólico quase-linear. Derivamos o problema de complementaridade não linear para a variável transformada afim de aplicar a transformação Gama para opções de tipo americano. Em seguida, resolvemos o problema variacional por meio do relaxamento projetado sucessivo modificado (PSOR) para construir um esquema numérico eficaz para discretização da desigualdade variacional Gama. Finalmente, apresentamos vários exemplos computacionais da equação não linear de Black-Scholes para apreçamento de opções de compra no tipo americano em presença de custos de transação variáveis.
Descrição
Doutoramento em Matemática Aplicada à Economia e à Gestão
Palavras-chave
American option pricing nonlinear Black-Scholes equation variable transaction costs PSOR method Opção americana equação de Black-Scholes não-linear custos de transação método PSOR
Contexto Educativo
Citação
Kord, Yaser Faghannataj (2021). "Pricing American Options by the Black-Scholes Equation with a Nonlinear Volatility Function". Tese de Doutoramento, Universidade de Lisboa. Instituto Superior de Economia e Gestão.
Editora
Instituto Superior de Economia e Gestão