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Publicação
Excesses, durations and forecasting value-at-risk
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Orientador(es)
Resumo(s)
The first part of this thesis is devoted to the semiparametric estimation of high quantiles. The classic estimators do not enjoy a desirable property in the presence of linear transformation of the data. To solve this problem, the Peaks Over a Random Threshold (PORT) methodology and PORT estimators are proposed. The consistency and asymptotic normality of the estimators are demonstrated. The finite sample behaviour of the proposed PORT estimators is studied and compared with some competitors. Under the context of financial time series and forecasting Value-at-Risk (VaR), the tendency to clustering of violations problem arises. To deal with this, a new class of independence tests for interval forecasts evaluation is proposed and the choice of one test is addressed. The exact and the asymptotic distributions of the corresponding test statistic are derived. In simulation studies, the proposed test revealed to be more powerful than the other tests under study, with few exceptions. The tendency to clustering of violations problem is related with the discrete Weibull distribution, through the shape parameter. A new estimator for this parameter is proposed. The conditional distribution function and the moments are derived. In order to solve the tendency to clustering of violations problem, a new risk model based on durations between excesses over a high threshold (DPOT) is proposed and compared with state-of-the art models under the probability 0.01, established in the Basel Accords. Under the context of extremal quantiles and using one of the oldest financial time series, the DPOT model and a risk model that uses an PORT estimator are compared with other risk models. In the empirical studies presented, to predict the VaR at a level 0.01 or lower, these models revealed more accuracy than the conditional parametric models widely used by the econometricians.
As principais contribuições desta tese enquadram-se nas áreas da estatística de valores extremos e gestão quantitativa do risco, com exemplos de aplicações em finanças. O desenvolvimento deste trabalho apoia-se num ambiente probabilista subjacente da Teoria de Valores Extremos (EVT do inglês “Extreme Value Theory”). Na primeira parte assumimos que os dados são realizações de variáveis aleatórias (va´s) independentes e identicamente distribuídas (iid). A distribuição do máximo de n observações de uma amostra de va´s iid, após a normalização adequada, converge para um dos três tipos possíveis de distribuições de valores extremos (Fréchet, Weibull ou Gumbel), representadas na forma unificada pela distribuição generalizada de valores extremos (GEV do inglês “Generalized Extreme Value”). O parâmetro de forma da distribuição GEV é designado por índice de cauda, sendo a sua estimação de grande importância na estimação de outros parâmetros de acontecimentos raros como por exemplo quantis elevados. Estão disponíveis na literatura, referida no Capítulo 1, muitos exemplos da importância da estimação destes parâmetros num vasto leque de aplicações em hidrologia, engenharia sísmica, ciências do ambiente, modelação de tráfico de redes, gestão de riscos em seguros, finanças, entre outras áreas. A primeira parte desta tese é dedicada `a estimação semiparamétrica do índice de cauda e de quantis elevados. Os estimadores clássicos não gozam de uma propriedade desejável na presença de transformações lineares dos dados. Esta propriedade consiste nas estimativas não serem perturbadas por mudanças de localização. Para resolver este problema, propomos uma metodologia que foi designada por metodologia PORT (do inglês ”Peaks Over a Random Threshold”) e estimadores PORT para o índice de cauda e para quantis elevados. A consistência e a normalidade assintótica destes estimadores é demonstrada. É estudado o comportamento de estimadores PORT em amostras finitas e o seu desempenho comparado com outros estimadores usados na literatura da especialidade. Outro tema central tratado nesta tese é a quantificação do risco. O Value-at-Risk(VaR), que de forma simplista não é mais do que um quantil extremo, tem vindo a substituir a volatilidade e o desvio padrão, sendo actualmente a medida de risco mais utilizada pelos profissionais na área financeira. Desde os Acordos de Basileia que grande parte das instituições financeiras utilizam diariamente o VaR para cálculo dos requisitos de capital. Num contexto de séries temporais financeiras e previsão do VaR, surge o problema de violações em grupos (clusters). Christoffersen (1998) mostrou que o problema de determinar a precisão de um modelo de previsão intervalar, como o VaR, pode ser reduzido ao estudo das propriedades de cobertura não condicional (UC) e independência (IND) da sucessão “hit”, indicadora de violacão. Uma infracção problemática da hipótese IND é a que surge associada a violações que ocorrem em clusters. Este tipo de violações sinalizam um modelo que não reage atempadamente à mudança de condições e num contexto de mercados financeiros, corresponde `a ocorrência de um grande número de perdas elevadas num espaço curto de tempo. Nesta tese propomos uma nova classe de testes para a hipótese IND e uma definição para tendência para violações em clusters. Estes testes utilizam a duração até à primeira violação ao e as durações entre as violações. As distribuições exacta e assintótica da correspondente estatística de teste são deduzidas e estudamos o problema da escolha de um teste pertencente a esta classe. Este teste é adequado para detectar modelos com tendência para produzirem violações em clusters e apresenta várias vantagens em relação `as alternativas presentes na literatura, designadamente, é baseado numa distribuição exacta, é baseado numa estatística cuja distribuição não depende de um parâmetro perturbador e estudos por simulação mostram que tem um desempenho muito superior em termos de potência relativamente aos testes em estudo, com poucas excepções, apresentando mais do dobro da potência em muitos casos. Este teste também é aplicado a dados reais que abrangem a recente crise financeira global de 2008. A análise destes dados reais proporciona evidência que ignorar a propriedade IND foi uma importante razão para o fraco desempenho, durante a crise de 2008, do procedimento de “backtesting” definido nos Acordos de Basileia. Neste caso estudado, no qual usámos um modelo que produz violacões em clusters, o teste que propomos rejeita a hip´otese IND antes de todos os outros testes. A problemática de violações em clusters, motivou o estudo da distribuição Weibull discreta. Sob a hipótese IND, as durações entre violações são va’s com distribuição geométrica que é um caso particular da distribuição Weibull discreta. Com violações em clusters, verifica-se um excessivo número de durações muito curtas e um excessivo número de durações muito longas. A distribuição Weibull discreta com o parâmetro de forma inferior a 1, gera este padrão de durações e por isso a estimativa deste parâmetro pode ser usada para detectar modelos que violam a hipótese IND desta forma. Nesta tese, um novo estimador para o parâmetro de forma da distribuição Weibull discreta é proposto, sendo deduzidas a função distribuição condicional e os momentos deste estimador. Utilizando as expressões teóricas deduzidas e um estudo por simulação, o estimador proposto é comparado com outros estimadores em termos de vi´es e erro quadr´atic médio, verificando-se que o novo estimador tem um desempenho muito superior quando o parâmetro de forma é inferior a 1. Recorrendo a uma série temporal financeira, a utilização deste estimador para identificar modelos de risco que produzem violações em clusters é ilustrada. A distribuicão Weibull discreta tem muitas aplicações para al´em da apresentada no âmbito da gestão quantitativa do risco e por isso a aplicabilidade do estimador proposto tamb´em se estende para além desta área. No Capítulo 1, é apresentada evidência que o pressuposto iid não é realista num contexto de séries temporais financeiras. Nestas séries é usual obter forte evidência de ocorrência de clusters de volatilidade e dependência serial não linear. Isto pode levara um desempenho não adequado de modelos VaR que assumem o pressuposto iid para os retornos. Para lidar com esta dependência, surgiu na literatua uma metodologia híbrida que combina modelos de volatilidade tipo-GARCH (do inglês“Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity”) com a EVT. Nesta tese propomos uma metodologia alternativa com base apenas na EVT e que não necessita de assumir um modelo paramétrico para toda a distribuição dos retornos mas apenas na cauda e com base em sólida teoria assintótica. A metodologia proposta utiliza os excessos acima de um nível elevado e as durações entre estes excessos como covariáveis, tendo sido designada por DPOT (do inglês“Duration based Peaks Over Threshold”). Na literatura, métodos baseados no ajustamento de um modelo estocástico aos excessos acima de um n´ıvel elevado u foram desenvolvidos sob a designação POT (do inglês“Peaks Over Threshold”). Um dos mais importantes Teoremas da EVT estabelece que os excessos acima de u seguem aproximadamente uma distribuição de Pareto Generalizada, quando a distribuição subjacente pertence ao domínio de atracção de uma distribuição GEV. A metodologia DPOT recorre ao método POT e à modelação ao do parâmetro de forma utilizando as durações como covariáveis. Com base neste método, três modelos DPOT, para previsão do VaR para o dia seguinte, foram comparados com outros modelos utilizando os retornos históricos de índices de accões. Os resultados empíricos mostram que, para a probabilidade 0.01 estipulada nos Acordos de Basileia e com os índices estudados, estes modelos têm um desempenho muito bom em termos de cobertura não condicional e em termos de independência. Os modelos DPOT revelaram um melhor desempenho“out-of-sample” que os modelos que constituem o estado-da-arte de modelos de risco. Em comparação com o popular modelo RiskMetrics desenvolvido pela J.P. Morgan, o desempenho é muito superior quer em termos de cobertura condicional, quer em termos de independência. Adicionalmente, tendo em conta o cálculo dos requisitos de capital no âmbito dos Acordos de Basileia, no período estudado e para os índices considerados, os modelos DPOT propostos conduziram a requisitos de capital médio inferiores aos dos outros modelos, mas antecipando melhor os momentos de elevada volatilidade. Finalmente, importa notar que o pressuposto iid não é necessariamente uma limitação. Na última parte desta tese, recorrendo a dados reais, mostramos que no caso do VaR com níveis de probabilidade muito baixos, i.e., no caso de quantis elevados, um estimador de variância mínima e viés reduzido (MVRB do inglês ”Minimum Variance Reduced Bias”), introduzido recentemente na literatura, que incorpora um dos estimadores PORT sugerido nesta tese e que é baseado no pressuposto iid, pode ser extraordináriamente preciso. Nesta última parte, é comparado o desempenho “out-of-sample” de modelos VaR baseados neste estimador, de modelos DPOT e de outros modelos VaR. Neste contexto, os níveis de probabilidade muito baixos utilizados foram p = 0.001 e p = 0.0005, que correspondem a alterações adversas de preços que se espera ocorrerem em média uma vez de quatro em quatro anos ou em média uma vez de oito em oito anos. O VaR com estes níveis de probabilidade pode ter interesse no desenvolvimento dos“testes de stress”. Nos estudos empíricos apresentados, para previsão do VaR com um nível de probabilidade igual ou inferior a 0.01, os modelos DPOT e os modelos baseados num estimador MVRB que incorpora um estimador PORT, revelaram mais precisão que os modelos paramétricos condicionais que são muito utilizados pelos econometristas, verificando-se em alguns casos uma enorme diferença no desempenho ”out-of-sample”.
As principais contribuições desta tese enquadram-se nas áreas da estatística de valores extremos e gestão quantitativa do risco, com exemplos de aplicações em finanças. O desenvolvimento deste trabalho apoia-se num ambiente probabilista subjacente da Teoria de Valores Extremos (EVT do inglês “Extreme Value Theory”). Na primeira parte assumimos que os dados são realizações de variáveis aleatórias (va´s) independentes e identicamente distribuídas (iid). A distribuição do máximo de n observações de uma amostra de va´s iid, após a normalização adequada, converge para um dos três tipos possíveis de distribuições de valores extremos (Fréchet, Weibull ou Gumbel), representadas na forma unificada pela distribuição generalizada de valores extremos (GEV do inglês “Generalized Extreme Value”). O parâmetro de forma da distribuição GEV é designado por índice de cauda, sendo a sua estimação de grande importância na estimação de outros parâmetros de acontecimentos raros como por exemplo quantis elevados. Estão disponíveis na literatura, referida no Capítulo 1, muitos exemplos da importância da estimação destes parâmetros num vasto leque de aplicações em hidrologia, engenharia sísmica, ciências do ambiente, modelação de tráfico de redes, gestão de riscos em seguros, finanças, entre outras áreas. A primeira parte desta tese é dedicada `a estimação semiparamétrica do índice de cauda e de quantis elevados. Os estimadores clássicos não gozam de uma propriedade desejável na presença de transformações lineares dos dados. Esta propriedade consiste nas estimativas não serem perturbadas por mudanças de localização. Para resolver este problema, propomos uma metodologia que foi designada por metodologia PORT (do inglês ”Peaks Over a Random Threshold”) e estimadores PORT para o índice de cauda e para quantis elevados. A consistência e a normalidade assintótica destes estimadores é demonstrada. É estudado o comportamento de estimadores PORT em amostras finitas e o seu desempenho comparado com outros estimadores usados na literatura da especialidade. Outro tema central tratado nesta tese é a quantificação do risco. O Value-at-Risk(VaR), que de forma simplista não é mais do que um quantil extremo, tem vindo a substituir a volatilidade e o desvio padrão, sendo actualmente a medida de risco mais utilizada pelos profissionais na área financeira. Desde os Acordos de Basileia que grande parte das instituições financeiras utilizam diariamente o VaR para cálculo dos requisitos de capital. Num contexto de séries temporais financeiras e previsão do VaR, surge o problema de violações em grupos (clusters). Christoffersen (1998) mostrou que o problema de determinar a precisão de um modelo de previsão intervalar, como o VaR, pode ser reduzido ao estudo das propriedades de cobertura não condicional (UC) e independência (IND) da sucessão “hit”, indicadora de violacão. Uma infracção problemática da hipótese IND é a que surge associada a violações que ocorrem em clusters. Este tipo de violações sinalizam um modelo que não reage atempadamente à mudança de condições e num contexto de mercados financeiros, corresponde `a ocorrência de um grande número de perdas elevadas num espaço curto de tempo. Nesta tese propomos uma nova classe de testes para a hipótese IND e uma definição para tendência para violações em clusters. Estes testes utilizam a duração até à primeira violação ao e as durações entre as violações. As distribuições exacta e assintótica da correspondente estatística de teste são deduzidas e estudamos o problema da escolha de um teste pertencente a esta classe. Este teste é adequado para detectar modelos com tendência para produzirem violações em clusters e apresenta várias vantagens em relação `as alternativas presentes na literatura, designadamente, é baseado numa distribuição exacta, é baseado numa estatística cuja distribuição não depende de um parâmetro perturbador e estudos por simulação mostram que tem um desempenho muito superior em termos de potência relativamente aos testes em estudo, com poucas excepções, apresentando mais do dobro da potência em muitos casos. Este teste também é aplicado a dados reais que abrangem a recente crise financeira global de 2008. A análise destes dados reais proporciona evidência que ignorar a propriedade IND foi uma importante razão para o fraco desempenho, durante a crise de 2008, do procedimento de “backtesting” definido nos Acordos de Basileia. Neste caso estudado, no qual usámos um modelo que produz violacões em clusters, o teste que propomos rejeita a hip´otese IND antes de todos os outros testes. A problemática de violações em clusters, motivou o estudo da distribuição Weibull discreta. Sob a hipótese IND, as durações entre violações são va’s com distribuição geométrica que é um caso particular da distribuição Weibull discreta. Com violações em clusters, verifica-se um excessivo número de durações muito curtas e um excessivo número de durações muito longas. A distribuição Weibull discreta com o parâmetro de forma inferior a 1, gera este padrão de durações e por isso a estimativa deste parâmetro pode ser usada para detectar modelos que violam a hipótese IND desta forma. Nesta tese, um novo estimador para o parâmetro de forma da distribuição Weibull discreta é proposto, sendo deduzidas a função distribuição condicional e os momentos deste estimador. Utilizando as expressões teóricas deduzidas e um estudo por simulação, o estimador proposto é comparado com outros estimadores em termos de vi´es e erro quadr´atic médio, verificando-se que o novo estimador tem um desempenho muito superior quando o parâmetro de forma é inferior a 1. Recorrendo a uma série temporal financeira, a utilização deste estimador para identificar modelos de risco que produzem violações em clusters é ilustrada. A distribuicão Weibull discreta tem muitas aplicações para al´em da apresentada no âmbito da gestão quantitativa do risco e por isso a aplicabilidade do estimador proposto tamb´em se estende para além desta área. No Capítulo 1, é apresentada evidência que o pressuposto iid não é realista num contexto de séries temporais financeiras. Nestas séries é usual obter forte evidência de ocorrência de clusters de volatilidade e dependência serial não linear. Isto pode levara um desempenho não adequado de modelos VaR que assumem o pressuposto iid para os retornos. Para lidar com esta dependência, surgiu na literatua uma metodologia híbrida que combina modelos de volatilidade tipo-GARCH (do inglês“Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity”) com a EVT. Nesta tese propomos uma metodologia alternativa com base apenas na EVT e que não necessita de assumir um modelo paramétrico para toda a distribuição dos retornos mas apenas na cauda e com base em sólida teoria assintótica. A metodologia proposta utiliza os excessos acima de um nível elevado e as durações entre estes excessos como covariáveis, tendo sido designada por DPOT (do inglês“Duration based Peaks Over Threshold”). Na literatura, métodos baseados no ajustamento de um modelo estocástico aos excessos acima de um n´ıvel elevado u foram desenvolvidos sob a designação POT (do inglês“Peaks Over Threshold”). Um dos mais importantes Teoremas da EVT estabelece que os excessos acima de u seguem aproximadamente uma distribuição de Pareto Generalizada, quando a distribuição subjacente pertence ao domínio de atracção de uma distribuição GEV. A metodologia DPOT recorre ao método POT e à modelação ao do parâmetro de forma utilizando as durações como covariáveis. Com base neste método, três modelos DPOT, para previsão do VaR para o dia seguinte, foram comparados com outros modelos utilizando os retornos históricos de índices de accões. Os resultados empíricos mostram que, para a probabilidade 0.01 estipulada nos Acordos de Basileia e com os índices estudados, estes modelos têm um desempenho muito bom em termos de cobertura não condicional e em termos de independência. Os modelos DPOT revelaram um melhor desempenho“out-of-sample” que os modelos que constituem o estado-da-arte de modelos de risco. Em comparação com o popular modelo RiskMetrics desenvolvido pela J.P. Morgan, o desempenho é muito superior quer em termos de cobertura condicional, quer em termos de independência. Adicionalmente, tendo em conta o cálculo dos requisitos de capital no âmbito dos Acordos de Basileia, no período estudado e para os índices considerados, os modelos DPOT propostos conduziram a requisitos de capital médio inferiores aos dos outros modelos, mas antecipando melhor os momentos de elevada volatilidade. Finalmente, importa notar que o pressuposto iid não é necessariamente uma limitação. Na última parte desta tese, recorrendo a dados reais, mostramos que no caso do VaR com níveis de probabilidade muito baixos, i.e., no caso de quantis elevados, um estimador de variância mínima e viés reduzido (MVRB do inglês ”Minimum Variance Reduced Bias”), introduzido recentemente na literatura, que incorpora um dos estimadores PORT sugerido nesta tese e que é baseado no pressuposto iid, pode ser extraordináriamente preciso. Nesta última parte, é comparado o desempenho “out-of-sample” de modelos VaR baseados neste estimador, de modelos DPOT e de outros modelos VaR. Neste contexto, os níveis de probabilidade muito baixos utilizados foram p = 0.001 e p = 0.0005, que correspondem a alterações adversas de preços que se espera ocorrerem em média uma vez de quatro em quatro anos ou em média uma vez de oito em oito anos. O VaR com estes níveis de probabilidade pode ter interesse no desenvolvimento dos“testes de stress”. Nos estudos empíricos apresentados, para previsão do VaR com um nível de probabilidade igual ou inferior a 0.01, os modelos DPOT e os modelos baseados num estimador MVRB que incorpora um estimador PORT, revelaram mais precisão que os modelos paramétricos condicionais que são muito utilizados pelos econometristas, verificando-se em alguns casos uma enorme diferença no desempenho ”out-of-sample”.
Descrição
Tese de doutoramento, Estatística e Investigação Operacional (Probabilidades e Estatística), Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2011
Palavras-chave
Teoria dos valores extremos Gestão do risco Séries temporais Distribuição de Weibull Teses de doutoramento - 2011