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Publicação
Mathematical models in epidemiology
| Nome: | Descrição: | Tamanho: | Formato: | |
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Orientador(es)
Resumo(s)
Esta dissertação, cujo título é Mathematical Models in Epidemiology (com tradução para Modelos
Matemáticos em Epidemiologia), é composta por dois capítulos: comparação entre modelos de tempo
discreto e modelos de tempo contínuo, e inserção de heterogeneidade separável e estática em alguns
casos especiais. Além disso, contém um anexo composto maioritariamente por teoremas e resultados
auxiliares de Análise e Álgebra Linear (destacam-se o Teorema de Fubini, o Teorema da convergência
dominada de Lebesgue e o critério de Weierstrass — na área da Análise — e resultados sobre a matriz
exponencial — na área da Álgebra Linear). É também aqui que se encontram provas alternativas para
resultados enunciados e demonstrados no texto principal e alguns exemplos são dados. Termina-se o
anexo com uma breve descrição da transformada de Laplace — definição, condições suficientes para
existência desta transformada e algumas propriedades (linearidade, primeira translação e multiplicação
por variável).
Notamos que os modelos matemáticos não são precisos e que a modelação de doenças infeciosas
poderá ter que incluir vacinação e/ou quarentena, ou ter que levar em conta a imprevisibilidade do comportamento humano e a sua complexidade. Além disso, não podemos esperar que os indivíduos de uma
população (de uma certa espécie) sejam todos iguais: por exemplo, alguns indivíduos podem ser (parcialmente ou totalmente) imunes a uma certa doença infeciosa enquanto outros não são. É o caso da
população humana, que é claramente heterogénea.
As doenças infeciosas existem no mundo há milhares e milhares de anos, antes da existência da
humanidade. A ideia de que existiam criaturas vivas invisíveis e que estas eram prováveis responsáveis
pela doença remonta à literatura médica mais antiga, como se pode ver, por exemplo, nos escritos de
Aristóteles (384 AC – 322 AC).
Acredita-se que Daniel Bernoulli (1700 – 1782) foi o pioneiro da aplicação da matemática ao estudo
das doenças infeciosas quando, em 1760, usou um método matemático para avaliar a eficácia das técnicas de variolização contra a varíola. No século seguinte, importantes contribuições a partir de uma
perspetiva estatística foram dadas por William Farr (1807 – 1883) e John Brownlee (1868 – 1927).
William Hamer (1862 – 1936) e Ronald Ross (1857 – 1932) foram os primeiros cientistas a formular
declarações matemáticas sobre a transmissão de doenças infeciosas. Em 1906, Hamer propôs que a
evolução de uma epidemia dependia da taxa de contacto entre indivíduos suscetíveis e indivíduos infeciosos (mass action principle — o princípio da ação das massas). O trabalho de Hamer e Ross inspirou
o trabalho de muitos outros, entre eles Anderson Gray McKendrick (1876 – 1943) e William Ogilvy
Kermack (1898 – 1970) que, em 1927, estabeleceram a famosa threshold theory — teoria do limite (ver
[Kermack and McKendrick, 1927]): um surto epidémico não pode ocorrer a partir da inserção de alguns
indivíduos infeciosos numa população totalmente suscetível a não ser que a densidade de indivíduos
suscetíveis esteja acima de um certo valor.
O princípio da ação de massas e a teoria do limite formam a fundação da epidemiologia teórica
moderna.
Kermack e McKendrick são considerados por muitos como os pioneiros de modelos epidemiológicos
e o seu modelo de 1927 é até hoje um protótipo para quase todos estes modelos. Embora simples, pode
ser generalizado de modo a incluir estrutura (idade, espaço) e/ou estocacidade.
No primeiro capítulo, começamos por tomar o modelo (de tempo) contínuo de Kermack-McKendrick
e mostramos como obter uma versão de tempo discreto. Prosseguimos com o estudo do modelo de tempo
contínuo e, em particular, derivamos uma expressão para a proporção de suscetíveis. Repetimos o processo para o modelo de tempo discreto, incluindo agora alguns exemplos, e fazemos algumas comparações com o modelo anterior. Durante o estudo, definições importantes (por exemplo, número básico de
reprodução) são dadas. No modelo contínuo, alguns resultados que se tornarão bastante úteis no próximo
capítulo são já enunciados e provados. Em particular, prova-se que a força cumulativa de infeção w satisfaz uma equação de renovação que envolve o número Ψ de indivíduos não-suscetíveis na população. O
próximo passo é estudar a fase inicial e o tamanho final no caso de modelos discretos. Aqui, começamos
por obter a equação de Euler-Lotka e pela procura de soluções positivas. Reconhecemos a importância
do número básico de reprodução R0 na existência de soluções positivas. Terminamos este capítulo com a
formulação compartimental para os modelos SIR e SEIR, começando no cenário contínuo e prosseguindo
com o cenário discreto. Em particular, calculamos a contribuição esperada para a força de infeção, no
caso contínuo, e a contribuição esperada para a força cumulativa de infeção, no caso discreto. Além
disso, determinamos o número básico de reprodução para cada um dos dois modelos, tanto no cenário
contínuo como no discreto, e vemos que, em cada cenário, o número básico de reprodução é o mesmo
para o modelo SIR e para o modelo SEIR (o que é natural, já que o compartimento E, de indivíduos
expostos (infetados que ainda não transmitem a doença), não contribui para a força de infeção.
No segundo e último capítulo desta dissertação, o objetivo é mostrar como integrar heterogeneidade
separável e estática em modelos epidémicos compartimentais. Aqui, começamos por considerar o modelo
(contínuo) de Kermack-McKendrick e depois reduzimo-lo a um modelo compartimental, bastando apenas
considerar uma forma específica para a contribuição esperada para a força de infeção: A(τ ) = UeτΣV .
Apresentamos duas formas alternativas de formular modelos compartimentais: a forma integrada e a
forma padrão. Mostramos a relação entre a equação de renovação que descreve a força cumulativa de
infeção w e a forma integrada. Ao longo deste estudo, vários exemplos são dados. Calculamos o número
básico de reprodução e o tempo de geração e derivamos a equação de Euler-Lotka. Em seguida, finalmente, consideramos uma população hospedeira heterogénea, onde indivíduos são caracterizados por
uma determinada característica. Reformulamos o modelo (contínuo) de Kermack-McKendrick e obtemos uma equação diferencial (parcial) para descrever a proporção de indivíduos com uma determinada
característica que ainda é suscetível e ainda uma equação de renovação para descrever a força de infeção.
Notamos que a contribuição esperada para a força de infeção é agora uma função de três variáveis: o
tempo desde infeção τ do indivíduo infetado e as características ω do indivíduo em risco de ser infetado e η do indivíduo infetado. Consideramos a contribuição esperada para a força de infeção da forma
A(τ, ω, η) = a(ω)b(τ )c(η), onde a(ω) é a suscetibilidade de indivíduos com característica ω e c(η) é a
infecciosidade de indivíduos com caraterística η. Afirmamos que basta redefinir uma função, definida
no primeiro capítulo, para integrar heterogeneidade na forma integrada. Para isso, provamos que a força
cumulativa de infeção é dada pelo produto da suscetibilidade a(ω) por uma função de tempo w(t). Vemos
que w satisfaz a equação de renovação obtida para a força de infeção cumulativa do modelo sem heterogeneidade quando redefinimos a função Ψ. Depois queremos integrar heterogeneidade na forma padrão
e vemos que aqui o processo já não é tão simples. Para isso, consideramos a suscetibilidade relativa,
específica da característica (ao escolher uma característica ω¯ que normaliza esta função, i.e., a(¯ω) = 1).
Aqui, assumimos b(τ ) = UeτΣV , i.e., da forma especial tomada pela contribuição esperada para a força
de infeção no início do capítulo. Terminamos o capítulo e esta dissertação com alguns exemplos (um
exemplo especial é o da distribuição Gamma).
Deixamos aqui a seguinte frase, tirada do livro [Müller and Kuttler, 2015]:
“All in all, epidemiology is complex, but encloses mathematically interesting problems and
very useful applications.”
com tradução para
“Em suma, a epidemiologia é complexa, mas inclui problemas matematicamente interessantes e aplicações muito úteis.”
The present dissertation, entitled Mathematical Models in Epidemiology, is composed by two chapters. In the first one, we start by taking the Kermack-McKendrick continuous-time model and derive a discrete-time version. We follow with the study of the continuous-time model and an expression for the susceptible proportion is derived. We repeat the process for the discrete-time model, including some examples and some comparisons with the previous model. Important definitions (e.g basic reproduction number) are given. The next step is the study of the initial phase and of the final size in the case of discrete-time models. We start by obtaining the Euler-Lotka equation and we recognize the importance of the basic reproduction number R0 in the existence of positive solutions. We give the compartmental formulation for two specific models in both time settings. In the second chapter, the objective is to show how to integrate separable static heterogeneity into compartmental models. We start by reducing the Kermack-McKendrick model to a compartmental model by considering a specific form for the expected contribution to the force of infection: A(τ ) = UeτΣV . We give two alternative ways of formulating compartmental models: the integrated form and the standard form. We finally consider a heterogeneous population where individuals are characterized by a certain trait. We reformulate the Kermack-McKendrick model. We consider the expected contribution to the force of infection of the form A(τ, ω, η) = a(ω)b(τ )c(η), where a(ω) is the susceptibility of individuals with trait ω and c(η) is the infectiousness of individuals with trait η. We acknowledge that it suffices to redefine a function to integrate heterogeneity into the integrated form. Next, we integrate heterogeneity into the standard form by considering the relative trait-specific susceptibility and b(τ ) = UeτΣV . Some examples are given. We leave here the following sentence, taken from the book [Müller and Kuttler, 2015]: “All in all, epidemiology is complex, but encloses mathematically interesting problems and very useful applications.”
The present dissertation, entitled Mathematical Models in Epidemiology, is composed by two chapters. In the first one, we start by taking the Kermack-McKendrick continuous-time model and derive a discrete-time version. We follow with the study of the continuous-time model and an expression for the susceptible proportion is derived. We repeat the process for the discrete-time model, including some examples and some comparisons with the previous model. Important definitions (e.g basic reproduction number) are given. The next step is the study of the initial phase and of the final size in the case of discrete-time models. We start by obtaining the Euler-Lotka equation and we recognize the importance of the basic reproduction number R0 in the existence of positive solutions. We give the compartmental formulation for two specific models in both time settings. In the second chapter, the objective is to show how to integrate separable static heterogeneity into compartmental models. We start by reducing the Kermack-McKendrick model to a compartmental model by considering a specific form for the expected contribution to the force of infection: A(τ ) = UeτΣV . We give two alternative ways of formulating compartmental models: the integrated form and the standard form. We finally consider a heterogeneous population where individuals are characterized by a certain trait. We reformulate the Kermack-McKendrick model. We consider the expected contribution to the force of infection of the form A(τ, ω, η) = a(ω)b(τ )c(η), where a(ω) is the susceptibility of individuals with trait ω and c(η) is the infectiousness of individuals with trait η. We acknowledge that it suffices to redefine a function to integrate heterogeneity into the integrated form. Next, we integrate heterogeneity into the standard form by considering the relative trait-specific susceptibility and b(τ ) = UeτΣV . Some examples are given. We leave here the following sentence, taken from the book [Müller and Kuttler, 2015]: “All in all, epidemiology is complex, but encloses mathematically interesting problems and very useful applications.”
Descrição
Tese de Mestrado, Matemática, 2023, Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências
Palavras-chave
Epidemiologia Modelação matemática Modelos de tempo contínuo Modelos de tempo discreto Heterogeneidade Teses de mestrado - 2023