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Moduli of continuity of lyapunov exponents for random non-invertible cocycles
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Resumo(s)
Esta tese estuda a regularidade quantitativa dos expoentes de Lyapunov no contexto de cociclos lineares aleatórios não invertíveis e de suporte não compacto, relativamente à distância de Wasserstein. O primeiro resultado principal estabelece que, sob três hipóteses (existência de momentos exponenciais finitos, quasi-irredutibilidade e L1 > L2) o expoente de Lyapunov de topo, L1, depende localmente de forma Hölder contínua da medida que gera o cociclo. A demonstração é feita usando teoria espectral, na qual a ergodicidade única do operador de Markov associado é crucial, e requer uma extensão da teoria de Furstenberg–Kifer para além do contexto invertível. Como consequências, obtêm-se (i) regularidade Hölder dos expoentes superiores via potências exteriores, (ii) estimativas de desvios grandes de tipo exponencial estáveis sob perturbações do cociclo na distância de Wasserstein e (iii) aplicações a cociclos de Schrödinger com potenciais não limitados. O segundo resultado principal estabelece a necessidade da hipótese de momento exponencial finito. Constrói-se uma família de cociclos aleatórios de Schrödinger com momentos subexponenciais localmente uniformes, mas sem qualquer momento exponencial finito, para a qual o expoente de Lyapunov, visto como função da energia, não é α-Hölder para nenhum α > 0. Mais geralmente, introduz-se uma correspondência entre perfis de momento e módulos de continuidade e prova-se que a quebra de uma dada condição de momento localmente uniforme (dada pela integrabilidade de um determinado tipo de perfil) impede que o módulo de continuidade correspondente se verifique.
In this thesis, we study the quantitative regularity of Lyapunov exponents for non-compact and non-invertible random linear cocycles, with respect to the Wasserstein distance. Our first main result shows that, under three natural hypotheses (finite exponential moments, quasiirreducibility, and a spectral gap L1 > L2) the top Lyapunov exponent depends locally Höldercontinuously on the measure that governs the dynamics. The proof relies on a spectral method in which the strong mixing of the associated Markov operator is crucial. To that end, we extend Furstenberg–Kifer theory beyond the invertible setup. Consequences include Hölder continuity of higher exponents via exterior powers, large-deviations–type estimates, and applications to Schr¨odinger cocycles with unbounded potentials. Our second main result shows that the exponential moment assumption is sharp. We construct non-compact random Schrödinger cocycles with locally uniform sub-exponential moments but without any exponential moment, for which the Lyapunov exponent, as a function of the energy, fails to be α-Hölder for every α > 0. More generally, we provide a correspondence between moment profiles and moduli of continuity, and we prove that the breakdown of a given (locally uniform) moment condition prevents the corresponding modulus of continuity from holding.
In this thesis, we study the quantitative regularity of Lyapunov exponents for non-compact and non-invertible random linear cocycles, with respect to the Wasserstein distance. Our first main result shows that, under three natural hypotheses (finite exponential moments, quasiirreducibility, and a spectral gap L1 > L2) the top Lyapunov exponent depends locally Höldercontinuously on the measure that governs the dynamics. The proof relies on a spectral method in which the strong mixing of the associated Markov operator is crucial. To that end, we extend Furstenberg–Kifer theory beyond the invertible setup. Consequences include Hölder continuity of higher exponents via exterior powers, large-deviations–type estimates, and applications to Schr¨odinger cocycles with unbounded potentials. Our second main result shows that the exponential moment assumption is sharp. We construct non-compact random Schrödinger cocycles with locally uniform sub-exponential moments but without any exponential moment, for which the Lyapunov exponent, as a function of the energy, fails to be α-Hölder for every α > 0. More generally, we provide a correspondence between moment profiles and moduli of continuity, and we prove that the breakdown of a given (locally uniform) moment condition prevents the corresponding modulus of continuity from holding.
Descrição
Tese de doutoramento em Matemática (Análise Matemática), Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2026.
Palavras-chave
Lyapunov exponents Random linear cocycles Quantitative regularity Large deviations Schrödinger cocycles Expoentes de Lyapunov Cociclos lineares aleatórios Regularidade quantitativa Grandes desvios Cociclos de Schrödinger