Matter Waves in Moiré Lattices

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Coherent oscillations and self-trapping of matter waves in quasi-periodic lattices

Publication . Prates, Henrique Miguel Calazans da Fonte; Konotop, Vladimir Vladlenovich

O estudo da dinâmica colectiva de condensados de Bose-Einstein espacialmente localizados em interação, é um problema típico da física de átomos frios. Uma implementação típica, e estudada em detalhe na literatura, é a de condensados confinados num potencial de poço-duplo, onde é possível encontrar diversos fenómenos fundamentais, tais como oscilações coerentes, quebra espontânea de simetria, self-trapping, solitões acoplados, entre outros. Este tipo de sistema é frequentemente designado por junção de Josephson bosónica, devido às semelhanças com a junção supercondutor-isolante-supercondutor (designada junção de Josephson supercondutora), onde ocorre o célebre efeito de Josephson, o qual possui diversas e importantes aplicações tecnológicas. O objetivo principal deste trabalho, que além disso contém uma revisão literária sobre condensados de Bose-Einstein e a sua descrição sob a equação de Gross-Pitaevskii, junções de Josephson bosónicas e quase-periodicidade, é apresentar uma implementação alternativa a este último sistema, com recurso a super-redes ópticas, que se revela ser mais geral que a implementação no potencial de poço duplo, explorando também o fenómeno de localização em meios quase-periódicos. Além disso, as fortes analogias entre este sistema e outras áreas da Física, nomeadamente a Óptica não linear, tornam os métodos desenvolvidos aqui de interesse bastante geral. Considera-se, assim, um condensado de Bose-Einstein numa rede óptica bicromática unidimensional, onde as sub-redes constituintes têm períodos incomensuráveis. Em particular, restringimos o estudo a sistemas onde a relação de incomensurabilidade entre períodos é a razão de ouro, o que se salienta não ser determinante dos efeitos observados. Este tipo de meio, apesar de aperiódico, é um exemplo típico de sistema que apresenta quase-periodicidade, um fenómeno originalmente proposto pelo matemático Harald Bohr, mas com implementações reais como redes de moiré e quasicristais. Estudos realizados nas últimas décadas revelam que, ao contrário dos meios periódicos onde as funções de onda são periódicas (e portanto ditas estendidas), em meios quase-periódicos é possível encontrar estados localizados. No caso unidimensional isto é reminiscente do célebre efeito de localização de Anderson, que a uma dimensão descreve a presença de estados localizados para sistemas com grau de desordem suficientemente alto (nomeadamente em potenciais aleatórios). Mais do que isso, observações experimentais recentes de condensados de Bose-Einstein ideais em redes ópticas incomensuráveis, confirmam a presença de estados localizados. Usando aproximações racionais para os períodos incomensuráveis, estudamos as propriedades dos estados próprios do sistema linear, que proporcionam uma descrição adequada do condensado de BoseEinstein num regime de baixas não linearidades (correspondente a um baixo número de átomos ou a interações inter-atómicas de baixa magnitude). Em particular, estuda-se: a estrutura do espectro de energia (que apresenta mini-bandas e alguns hiatos largos), a localização e distribuição espacial dos modos. Em primeiro lugar, observa-se que os estados se encontram localizados abaixo de uma dada energia, e deslocalizados acima dessa energia, que se designa usualmente por mobility edge. Mais, a mobility edge, nos potenciais aqui estudados, encontra-se sempre num dos hiatos, não havendo a presença de estados críticos (i.e. todos os estados são ou localizados ou deslocalizados). Mostra-se também que abaixo da mobility edge, os estados localizados distribuem-se homogeneamente pelo espaço. A estrutura de bandas, que no limite incomensurável apresenta um comportamento fractal, apresenta ”memória”das aproximações racionais de precisão inferior. Significa isto que os hiatos maiores ocorrem precisamente em modos cujo número está relacionado com as aproximações racionais anteriores. O efeito da escolha de diferentes aproximações racionais também é discutido, nomeadamente como aproximações de ordem relativamente baixa são capazes de reproduzir adequadamente fenómenos relacionados com quase-periodicidade, desde que fixo um intervalo espacial de dimensão suficientemente grande (quando comparado com a dimensão do condensado). Assim, uma escolha judiciosa do potencial poderá produzir modos localizados com as características desejadas para a implementação de uma junção de Josephson bosónica. Em particular observa-se que, em potenciais simétricos com um máximo global na origem, sobreposições adequadas dos estados próprios do Hamiltoniano, que são simétricos ou anti-simétricos, resultam em estados fortemente localizados que podem ser utilizados para reproduzir efeitos dinâmicos diversos, comuns aos encontrados em potenciais de duplo ou múltiplo poço. Desta forma, é possível uma implementação alternativa de uma junção de Josephson bosónica, mas onde as oscilações coerentes observadas apresentam efeitos dinâmicos adicionais, não presentes na implementação em poço duplo, nomeadamente batimentos e comutação entre comportamentos dinâmicos qualitativamente distintos (essencialmente entre órbitas bastante dissimilares do espaço de fases), que aqui é designado por switching, que são uma consequência direta da possibilidade de excitação de outros modos que não os inicialmente populados. Além desses efeitos, observa-se também self-trapping, um efeito no qual uma fracção macroscópica do sistema fica confinado num dado estado, que é também observável na potencial de poço duplo. Este efeito, contudo, não é observado em junções de Josephson supercondutoras, estando relacionado diretamente com a não-linearidade intrínseca dos condensados de Bose-Einstein que resulta das interações apreciáveis entre bosões. Estes efeitos dinâmicos ocorrem a não-linearidades relativamente fracas. Além disso, podem ser observados com diferentes pares de modos, enquanto que no caso de poço duplo a implementação é apenas possível com o estado fundamental e o primeiro estado excitado, o que torna a implementação da junção de Josephson em potenciais quase-periódicos mais geral. Esta possibilidade de escolha traduz-se em diferentes parâmetros do sistema, o que por sua vez permite induzir dinâmicas bastante distintas. Apesar do forte paralelismo com o potencial de poço duplo, no caso de redes ópticas quase-periódicas a localização deve-se à interferência e não ao efeito confinante das paredes do potencial. Assim, apesar de ser possível a reprodução dos regimes dinâmicos encontrados em poço duplo, sob não-linearidades muito pequenas, um aumento da não-linearidade por cerca de uma ordem de grandeza revela diferenças na dinâmica, nomeadamente o aparecimento destes novos efeitos. Considerando pares de modos distintos, estuda-se a dinâmica de dois e quatro modos espacialmente localizados, acoplados por uma pequena não linearidade. Para este efeito, propomos um modelo analítico de dois modos, análogo ao de poço duplo, e outro de quatro modos. Este último é deduzido com detalhe a partir da equação de Gross-Pitaevskii, uma vez que um estudo sistemático do mesmo não se encontra na literatura, resultando num conjunto de equações diferenciais ordinárias acopladas e não lineares para as amplitudes complexas do condensado em cada modo e posteriormente num sistema Hamiltoniano real, no qual um estudo do espaço de fases é possível. Apesar da generalidade deste modelo de quatro modos, aqui restringimos o estudo da dinâmica apenas aos regimes que permitem estender e melhor compreender a dinâmica de dois modos (i.e em casos em que um dos pares de modos se encontra fracamente populado relativamente ao outro). Em ambos os casos, compara-se a dinâmica prevista pelos modelos analíticos com as simulações numéricas diretas da dinâmica descrita pela equação de Gross-Pitaevskii. Os estados localizados e a dinâmica dos mesmos persistem para tempos longos, mesmo na presença de interações inter-atómicas repulsivas (nos quais eventualmente se observa total dispersão dos átomos). Além disso, o modelo permite uma descrição qualitativa adequada dos fenómenos de dois e quatros modos, notandose que um aumento da não linearidade torna a descrição menos exata do ponto de vista quantitativo, devido à inevitável excitação de outros modos próximos. Isto abre portas ao estudo da dinâmica de multimodos, a qual poderá ser estudada analiticamente com modelos que são uma generalização do modelo aqui apresentado.

2022Dissertação de mestrado

Acesso aberto

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Entidade financiadora

Fundação para a Ciência e a Tecnologia

Programa de financiamento

3599-PPCDT

Número da atribuição

PTDC/FIS-OUT/3882/2020