Coupled Wiener processes: from single to collective dynamics of active particles

Abstract

Atualmente é possível observar um crescente desenvolvimento da tecnologia e, nomeadamente, de robots. Cientistas e engenheiros estão a trabalhar com escalas cada vez mais pequenas, como a micro e a nano-escala. A sociedade pode beneficiar destes desenvolvimentos de diversos modos, como por exemplo, na área da Saúde. Pensemos então na possibilidade de construir micro-robots que são capazes de levar substâncias específicas, como medicamentos, a partes do corpo humano em necessidade. Esta tarefa parece f´acil se pensarmos nos mais recentes desenvolvimentos de robots à escala humana, mas o desafio está no facto de que os micro-robots sofrem muitas colisões provenientes do meio em que estão, devido a flutuações térmicas. Tendo este facto em conta, a descrição matemática destas partículas usando teorias da Mecânica torna-se um desafio. Para estudar o movimento dessas partículas, baseamo-nos no movimento de partículas criadas pela Natureza, como por exemplo, um espermatozóide. O seu movimento não é apenas aleatório pois é claro que existe uma direção preferencial de velocidade, à qual chamamos velocidade de deriva. Este termo de velocidade de deriva diz-nos se a partícula é ativa ou não, sendo então uma partícula Browniana passiva. Para descrever as equaçõees de movimento desta partícula, utiliza-se o conceito de processo de Wiener que também é denominado por movimento Browniano. Reduz-se então um problema de vários corpos a um problema de um corpo e para isso é necessário incluir conceitos de Cálculo Estocástico, cujo fator principal é o processo de Wiener, e o resultado será uma equação diferencial estocástica como equação de movimento da partícula em estudo. Apesar disso, note-se que não é possível aplicar esta redução a todos os sistemas, pois é necessário preencher os requisitos apropriados, por exemplo esta redução é aplicada quando há interesse em estudar as propriedades globais do sistema e/ou o comportamento mecânico em vez da estrutura molecular e/ou interações químicas ou quando se pretende fazer um estudo simples dos resultados das simulações e do comportamento do sistema. Com esta redução obtêm-se cálculos computacionalmente mais económicos e, além disso, é possível simular sistemas maiores, assim como maiores escalas de tempo, o que permite usar um incremento de tempo maior. Contudo, é importante garantir que os modelos simplificados são capazes de reproduzir as propriedades físicas relevantes. Utilizando esta equação diferencial estocástica, é possível realizar simulações e explorar várias possibilidades tais como diferentes valores da velocidade de deriva, diferentes tempos totais de simulação, diferentes viscosidades do fluído, introduzir obstáculos (como por exemplo uma parede) e diferentes potenciais de interação entre as partículas. Para integrar numericamente as equações de movimento, implementou-se o método de Euler-Maruyama. Este método baseia-se no tão conhecido método de Euler que é utilizado para resolver equações diferenciais ordinárias numericamente. Considerou-se um sistema de duas dimensões e partículas de forma circular. Foram feitas simulações com partículas Brownianas passivas a partículas ativas considerando condições periódicas de fronteira de onde se concluiu que as partículas Brownianas passivas possuem um comportamento puramente difusivo ao longo do tempo, ou seja o deslocamento quadrático médio varia linearmente com o tempo, enquanto que as partículas ativas possuem um comportamento balístico, ou seja o deslocamento quadrático médio varia quadraticamente com o tempo, para tempos menores do que o inverso do coeficiente de difusão rotacional e comportamento difusivo para tempos maiores do que este. Nas simulações seguintes considerou-se a presença de uma caixa quadrada no sistema e partículas com a mesma posição inicial. Estas simulações foram realizadas para proceder ao estudo da função densidade de probabilidade. Aqui, para além de termos estudado o impacto de se considerar diferentes valores da velocidade de deriva e diferentes tempos totais de simulação, também se considerou o impacto de um fluido diferente. Observou-se que, no caso das partículas Brownianas passivas, a função densidade de probabilidade convergiu de uma distribuição normal para uma distribuição uniforme ao longo do tempo. No caso das partículas ativas, observou-se que a função densidade de probabilidade aumentou nas regiões próximas das paredes e que diminui nas restantes regiões. Para um tempo fixo e variando a velocidade de deriva das partículas ativas, observou-se o mesmo. Foi possível concluir que, com a presença de paredes, as partículas ativas acumulam-se perto destas e a velocidade deste processo depende do tempo total de simulação e/ou da velocidade de deriva. Este resultado era esperado pois é sabido da teoria que quando uma partícula ativa interage com uma parede, existe uma assimetria entre o movimento de chegada e o de partida da parede. Quando a partícula se aproxima da parede irá ficar próxima da parede até que a orientação da sua velocidade se altere para uma orientação oposta à parede e aí a partícula irá nadar para longe da parede. Esta assimetria faz com que exista uma tendência de acumulação de partículas ativas próximo das paredes. O estudo da acumulação de partículas ativas nas paredes é importante em aplicações, por exemplo no caso em que se supõe que um micro-robot leva uma dada substância a partes específicas do corpo humano, estes robots podem ter tendência a acumular próximos de superfícies no corpo o que pode resultar em elevadas concentrações da substância em questão em locais desejáveis ou não podendo haver, portanto, efeitos secundários indesejáveis. Ao variar o coeficiente de difusão translacional, observaram-se várias dependências entre o coeficiente de difusão translacional e a velocidade de deriva e também entre o coeficiente de difusão translacional e o tempo total de simulação. Nas simulações com partículas Brownianas passivas observou-se que, fixando o tempo de simulação, ao aumentar o coeficiente de difusão translacional a curva da função densidade de probabilidade era mais larga. Ao longo do tempo, para qualquer coeficiente de difusão translacional estudado, observou-se que a função densidade de probabilidade tornou-se mais larga. No caso com partículas ativas e com variação do coeficiente de difusão translacional, foram observadas as mesmas diferenças de comportamento em relação às partículas Brownianas passivas aquando a introdução das paredes: ao aumentar a velocidade de deriva nos quatro casos de diferente coeficiente de difusão translacional observou-se que o processo de acumulação de partículas próxima da parede era mais rápido. Para um valor de velocidade de deriva fixado, observou-se que a função densidade de probabilidade aumenta próximo das paredes ao longo do tempo nos quatro casos de diferente coeficiente de difusão translacional considerados. Por fim, consideraram-se interações entre partículas de modo a melhor entender o movimento colectivo de partículas, para isso estudou-se o caso com um potencial puramente repulsivo e com um potencial repulsivo e atrativo (potencial de Lennard-Jones). O primeiro caso estudado foi com duas partículas tangentes uma à outra no início das simulações. No caso com partículas Brownianas passivas, observou-se que, com qualquer dos potenciais considerados, as partículas repelem-se e afastam-se uma da outra. O mesmo acontece com partículas ativas apesar de que após um certo tempo a distância entre elas fica aproximadamente estável. De seguida, ainda considerando os potenciais, estudou-se um sistema com muitas partículas para se estudar a função densidade de probabilidade para diferentes valores da velocidade de deriva e do tempo total de simulação. Aqui observou-se o mesmo comportamento do que no caso em que as simulações realizadas sem se considerar potencial referido anteriormente: a função densidade de probabilidade no caso de partículas Brownianas passivas converge para uma distribuição uniforme e no caso com partículas ativas, a função densidade de probabilidade atinge valores mais elevados próxima das paredes ao longo do tempo e este processo, mais uma vez, ocorre de modo mais rápido quando se consideram valores da velocidade de deriva mais elevados. No entanto, foram observadas algumas diferenças entre ambos os potenciais: as partículas Brownianas passivas, ao considerar o potencial puramente repulsivo, necessitam de mais tempo até que se distribuam uniformemente pelo espaço e, portanto, exige-se mais tempo até que a função densidade de probabilidade convirja para uma distribuição uniforme; as partículas ativas acumulam-se mais depressa junto das paredes quando se considera o potencial puramente repulsivo do que o potencial de Lennard-Jones. Existem questões interessantes e importantes em termos de aplicações a serem estudadas no futuro. Por exemplo, se se considerar a existência de obstáculos no fluido será um caso interessante de se estudar o comportamento das partículas ativas e a sua acumulação, por exemplo, para diferentes geometrias do obstáculo. Outra questão interessante será o movimento ativo quiral no qual as partículas ativas nadam em trajetórias circulares. A existência de mais conhecimento científico nestes tópicos irá permitir um maior controle sobre partículas ativas, em particular, partículas ativas criadas pelo Homem tais como os micro- e nano-robots mencionados atrás.

Our goal is to study the singular and collective dynamics of active particles and compare them with passive Brownian particle dynamics. We introduce the Wiener process (also known as Brownian motion) and stochastic differential equations after which we present the numerical method used here: the Euler-Maruyama method. The concepts of both passive Brownian particles and active particles are explained and we introduce the concept of drift velocity. We then study the influence of a wall in these dynamics, calculating the probability density function when we consider different conditions such as different total simulation times, different values of drift velocity and different fluids. The existence of two distinct potentials is also considered: one that is purely repulsive and the Lennard-Jones potential, which is attractive and repulsive. Again, we calculate the probability density function in a system with several particles and study cases with different total simulation times and differing values of drift velocity. We consider a two-dimensional system for our conclusions and circular shaped particles. When comparing the motion of a singular particle, we can conclude that passive Brownian particles show a purely diffusive behavior, i.e. the mean square displacement is linear over time, and active particles show a diffusive behavior for longer times, i.e. times longer than the inverse of the rotational diffusion coefficient, whereas for shorter times, i.e. times shorter than the inverse of the rotational diffusion coefficient, they show a ballistic behavior, i.e. the mean square displacement shows a quadratic dependence of time. If we assume the existence of a wall in our system, we notice that the probability density function increases near the walls when fixing the value of drift velocity, while it converges to zero in the remaining regions. Physically, this means that there is an accumulation of particles near the wall since they stay there hitting the wall until their velocity direction changes. We also conclude that for passive Brownian particles, there is a convergence of the probability density function from a normal to a uniform distribution. However, when we consider active particles, the probability density function increases near the wall and it converges to zero in the remaining regions over time. We conclude that this occurs more rapidly as the value of drift velocity increases. When comparing different fluids, i.e. fluids with distinct values of translational diffusion coefficient (and so distinct values of rotational diffusion coefficient), we conclude that, for passive Brownian particles, the curve of distribution representing the probability density function becomes wider when the translational diffusion coefficient is larger when keeping the time fixed while, if we vary the time, this curve will be wider over time. For active particles, we concluded that the probability density function increases near the walls over time for a smaller translational diffusion coefficient. For a fixed time of simulation, the larger the value of drift velocity is, the higher the probability density function will be near the walls, which also increases when the translational diffusion coefficient is lowered. If we assume a repulsive potential between two passive Brownian particles tangent to each other, we conclude that they move away from each other. When we consider two active particles, they move away until they are outside the interaction range of the repulsive potential and then the distance between them stays approximately stable. If we consider several particles, again, we see that, for passive Brownian particles, there is a convergence of the probability density function to a uniform distribution. When considering active particles, the probability density function increases near the wall over time and it converges to zero in the remaining regions. When increasing the value of drift velocity this occurs faster than if we were considering a smaller value of drift velocity. When considering the Lennard-Jones potential between two particles tangent to each other, the conclusions are the same as for the repulsive potential. In our work we observed that when the depth of the potential well converges to zero, there is a weaker attraction between the particles, which leads to a non-aggregation state. In the opposite case, in which the depth of the potential well is much larger than one, the aggregation between the particles is very strong. This last result does not depend on the value of the drift velocity. When considering several particles, we conclude the same for the probability density function as in the repulsive potential case. For passive Brownian particles, the process of converging to a uniform distribution is slower when considering the purely repulsive potential than the Lennard-Jones potential. For active particles, the process of accumulation of particles near the wall is faster when the repulsive potential is considered than with the Lennard-Jones potential.