Lotka-volterra systems and polymatrix replicators

Abstract

In the 1970’s John M. Smith and George R. Price [22] applied the theory of strategic games developed by John von Neumann and Oskar Morgenstern [42] in the 1940’s to investigate the dynamical processes of biological populations, giving rise to the field of the Evolutionary Game Theory (EGT). Some classes of ordinary differential equations (o.d.e.s) which plays a central role in EGT are the Lotka-Volterra systems (LV), the replicator equation, the bimatrix replicator and the polymatrix replicator. Many properties of the LV systems can be geometrically expressed in terms of its associated graph, constructed from the system’s interaction matrix. For the class of stably dissipative LV systems we prove that the rank of its defining matrix, which is the dimension of the associated invariant foliation, is completely determined by the system’s graph. In this thesis we also study analytic flows defined on polytopes. We present a theory that allows us to analyze the asymptotic dynamics of the flow along the heteroclinic network composed by the flowing-edges and the vertices of the polytope where the flow is defined. In this context, given a flow defined on a polytope, we give sufficient conditions for the existence of normally hyperbolic stable and unstable manifolds for heteroclinic cycles. In polymatrix games population is divided in a finite number of groups, each one with a finite number of strategies. Interactions between individuals of any two groups are allowed, including the same group. The differential equation associated to a polymatrix game, that we designate as polymatrix replicator, is defined in a polytope given by a finite product of simplices. Karl Sigmund and Josef Hofbauer [16] and Wolfgang Jansen [18] give sufficient conditions for permanence in the usual replicators. We generalize these results for polymatrix replicators. Also for polymatrix replicators we extend the concept of stably dissipativeness developed by Ray Redheffer et al. [25–29]. In this context we generalize a theorem of Waldyr Oliva et al. [6] about the Hamiltonian nature of the limit dynamics in “stably dissipative” polymatrix replicators. We present also some examples to illustrate fundamental results and concepts developed along the thesis.

Na década de 1970 John M. Smith e George R. Price [22] começaram a usar a teoria de jogos estratégicos desenvolvida por John von Neumann e Oskar Morgenstern [42] nos anos 1940 para investigar os processos dinâmicos de populações, dando assim origem à Teoria de Jogos Evolutivos (TJE). Algumas classes de equações diferenciais ordinárias (e.d.o.s) que têm um papel central na TJE são os sistemas Lotka-Volterra (LV), a equação do replicador, o replicador bimatricial e o replicador polimatricial. Muitas propriedades dos sistemas LV podem ser expressas geometricamente em termos do seu grafo associado, construído a partir da matriz de interaçcão do sistema. Para a classe dos sistemas LV estavelmente dissipativos provamos que a característica da sua matriz de interaçcão, que é a dimensão da folheação invariante associada, é completamente determinada pelo grafo do sistema. Nesta tese estudamos também fluxos analíticos definidos em politopos. Apresentamos uma teoria que nos permite analisar a dinâmica assintótica do fluxo ao longo da rede heteroclítica formada pelas arestas e vértices do politopo onde os fluxos estão definidos. Neste contexto, dado um fluxo definido num politopo, damos condições suficientes para a existência de variedades normalmente hiperbólicas estáveis e instáveis para ciclos heteroclíticos. Nos jogos polimatriciais a população é dividida num número finito de grupos, cada um com um n´úmero finito de estratégias. As interaçcões entre indivíduos de quaisquer dois grupos podem ocorrer, inclusive do mesmo grupo. A equação diferencial associada a um jogo polimatricial, que designamos por replicador polimatricial, está definida num politopo dado por um produto finito de simplexos. Karl Sigmund e Josef Hofbauer [16] e Wolfgang Jansen [18] apresentam condições suficientes para a permanência nos replicadores usuais. Nesta tese generalizamos esses resultados para os jogos polimatriciais. Também para os replicadores polimatriciais estendemos o conceito de estabilidade dissipativa desenvolvido por Ray Redheffer et al. [25–29]. Neste contexto generalizamos um teorema de Waldyr Oliva et al. [6] sobre a natureza Hamiltoniana da dinâmica limite em replicadores polimatriciais “estavelmente dissipativos”. Apresentamos ainda alguns exemplos para ilustrar resultados e conceitos fundamentais desenvolvidos ao longo da tese.