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Publicação
Pricing american-style options under the heston model
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Resumo(s)
Nesta tese, estuda-se o problema associado à avaliação de opções Americanas atráves da aplicação de um esquema de diferenças finitas, tendo como base um modelo de volatilidade estocástica. É do conhecimento geral que os ativos financeiros contêm variações na sua volatilidade devido maioritariamente ao conhecido e bem estudado volatility smile. Por isso, neste trabalho será adotado um modelo definido por dois fatores, um para a evolução do preço do ativo subjacente e outro para os valores da volatilidade: o modelo de Heston (1993). Estando definida a equação parcial estocástica que descreve a evolução do preço da opção sob o modelo de Heston, é aplicado um esquema de diferenças finitas, neste caso o de Crank-Nicolson, que consiste em substituir as derivadas parciais por aproximações às diferenças centradas e progressivas, complementando-o posteriormente com condições de fronteira condizentes com as características das opções (neste cenário opções de venda). A utilização deste método acaba por ser uma ferramenta para depois, com a evolução do tempo, chegarmos ao preço para uma opção Americana, utilizando um mecanismo que incorpore a particularidade de exercício antecipado (algoritmo de Brennan e Schwartz [1977]). É estudada também a eficiência e estabilidade do método com o intuito de o validar para futura utilização, onde os valores são comparados com a solução de Heston (para as opções Europeias) e com valores de alta precisão para opções Americanas provenientes do método de geração de path-independent trees usando o control variate method. Para efeitos de implementação, é usado o Matlab.
In this thesis, is studied the problem with the valuation of the American options through the application of a appropriate finite difference scheme, based on a stochastic volatility model. It’s global knowledge that the financial assets have fluctuation in the volatility, due mostly to the known and well studied volatility smile. Therefore, in this work we will adopt a model defined by two factors, one for the evolution of the underlying asset price and another for the volatility values: the Heston model (1993). Given the partial stochastic equation that describes the evaluation of the option price under the Heston model, a finite difference scheme is applied, in this case the Crank-Nicolson scheme, which consists in replace the partial derivatives by approximation to the centered and forward differences, complemented later with border condition consistent with the characteristics of the options (in this scenario). The use of this method turns out to be a tool for later, with the evolution of time, we arrive at the price for the American options, using a mechanism that incorporates the particularity of anticipated exercise (Brennan and Schwartz algorithm [1977]). The efficiency and stability of the method is also studied in order to validate for future use, where the values are compared with the exact solution of Heston (for the European options), and with high precision values for American options from the method of generating path-independent trees using the control variate method. For implementation purpose, Matlab is used.
In this thesis, is studied the problem with the valuation of the American options through the application of a appropriate finite difference scheme, based on a stochastic volatility model. It’s global knowledge that the financial assets have fluctuation in the volatility, due mostly to the known and well studied volatility smile. Therefore, in this work we will adopt a model defined by two factors, one for the evolution of the underlying asset price and another for the volatility values: the Heston model (1993). Given the partial stochastic equation that describes the evaluation of the option price under the Heston model, a finite difference scheme is applied, in this case the Crank-Nicolson scheme, which consists in replace the partial derivatives by approximation to the centered and forward differences, complemented later with border condition consistent with the characteristics of the options (in this scenario). The use of this method turns out to be a tool for later, with the evolution of time, we arrive at the price for the American options, using a mechanism that incorporates the particularity of anticipated exercise (Brennan and Schwartz algorithm [1977]). The efficiency and stability of the method is also studied in order to validate for future use, where the values are compared with the exact solution of Heston (for the European options), and with high precision values for American options from the method of generating path-independent trees using the control variate method. For implementation purpose, Matlab is used.
Descrição
Tese de mestrado, Matemática Financeira, Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2018
Palavras-chave
Opções Americanas Volatilidade Estocástica Método de Diferenças Finitas Esquema de Crank-Nicolson Teses de mestrado - 2018