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Publicação
Templates e elos de órbitas periódicas em fluxos de dimensão 3
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Orientador(es)
Resumo(s)
No que diz respeito à estrutura topológica das soluções de equações diferenciais ordinárias, o conjunto das órbitas periódicas de um fluxo definido numa variedade, X, de dimensão três constitui um elo, i.e. a união disjunta de curvas fechadas, simples, em X, designadas nós. O estudo de fluxos de um ponto de vista topológico tem início, cerca de 1880,com Henri Poincaré, mas foi somente cerca de 1983 e baseando-se no estudo, desenvolvido por Robert Williams, do sistema de Lorenz do ponto de vista da estrutura/tipo dos elos de órbitas periódicas, que Joan Birman e R.Williams introduzem uma estrutura, designada template, que modela a colecção de órbitas periódicas de fluxos definidos em variedades de dimensão três e com conjuntos recorrentes por cadeias hiperbólicos. O presente trabalho divide-se em três partes. Na primeira apresentamos alguns conceitos básicos de Sistemas Dinâmicos e Teoria dos Nós. Na segunda parte consideramos a noção de template, a respectiva descrição simbólica, e analisamos que nós e elos estão contidos num dado template. Na terceira parte apresentamos o conceito de template universal introduzido por Robert Ghrist em 1997, e que resolve pela negativa uma conjectura de Birman e Williams
Concerning the topological structure of the solutions of ordinary differential equations, the set of periodic orbits of a flow in a three-dimensional manifold X, is a link, i.e. the disjoint union of simple closed curves in X, known as knots. The study of flows from the topological viewpoint starts, around 1880, with Henri Poincaré, but it was only around 1983 and based on the study, developed by Robert Williams, of the Lorenz system, that Joan Birman and R. Williams introduce a structure, the template, that mould the periodic orbits collection of three-dimensional flows with hyperbolic chain-recurrent sets. This paper falls into three parts. In the first, we provide some basic concepts from Dynamical Systems and Knot Theory. In the second part, we consider the notion of template, its symbolic description, and analyze what knots and links can be found on a given template. In the third part, we provide the notion of universal template introduced by Robert Ghrist in 1997, which resolves in the negative a conjecture due to Birman and Williams
Concerning the topological structure of the solutions of ordinary differential equations, the set of periodic orbits of a flow in a three-dimensional manifold X, is a link, i.e. the disjoint union of simple closed curves in X, known as knots. The study of flows from the topological viewpoint starts, around 1880, with Henri Poincaré, but it was only around 1983 and based on the study, developed by Robert Williams, of the Lorenz system, that Joan Birman and R. Williams introduce a structure, the template, that mould the periodic orbits collection of three-dimensional flows with hyperbolic chain-recurrent sets. This paper falls into three parts. In the first, we provide some basic concepts from Dynamical Systems and Knot Theory. In the second part, we consider the notion of template, its symbolic description, and analyze what knots and links can be found on a given template. In the third part, we provide the notion of universal template introduced by Robert Ghrist in 1997, which resolves in the negative a conjecture due to Birman and Williams
Descrição
Tese de mestrado, Matemática (Análise Matemática), 2008, Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências
Palavras-chave
Análise matemática Teses de mestrado